Differentiation Algebraic Function

การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันพีชคณิต 

(Differentiation Algebraic Function)

ฟังก์ชันพีชคณิต (Algebraic Function) 

 

หมายถึงฟังก์ชันลักษณะ
y =

เมื่อ n เป็นจำนวนจริง
กฎข้อที่ 1 เมื่อ y = c เมื่อ c เป็นตัวคงที่ จะได้ว่า = 0

กฎข้อที่ 2 เมื่อ y = x จะได้ว่า

กฎข้อที่ 3 เมื่อ y = c f (x) และ c เป็นตัวคงที่ จะได้ว่า

กฎข้อที่ 4 เมื่อ u,v,w เป็นฟังก์ชันของx
จะได้ว่า

กฎข้อที่ 5 เมื่อ y เป็นฟังก์ชันของ เมื่อ n เป็นจำนวนตรรภยะ
จะได้ว่า =

กฎข้อที่ 6 อนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชัน
ถ้า y = f (x) g(x) เมื่อ f (x) และ g(x) เป็นฟังก์ชันที่สามารถหา
f '(x) และ g '(x) ได้ แล้ว = f (x) g '(x) + f '(x) g(x)

กฎข้อที่ 7 อนุพันธ์ของผลหารณของฟังก์ชัน
ถ้า y = โดยที่ f(x) และ g(x) เป็นฟังก์ชันที่สามารถหา

f '(x) และ g '(x) ได้ และ g(x) 0 แล้ว
=

กฎข้อที่ 8 กฎลูกโซ่ (chain rule )
ถ้า y = f เมื่อ n เป็นจำนวนตรรภยะ และ
f(x) เป็นฟังก์ชันที่สามารถหา f '(x) ได้ แล้ว
= n f '(x)

ตัวอย่างการนำกฎดังกล่าวไปใช้หาอนุพันธ์ฟังก์ชัน

1) กำหนดให้ y = 8

จะได้ = 0

2) กำหนดให้ y = 5x

จะได้ = = 5 = 5

3) กำหนดให้ y =

จะได้ = = 8

) กำหนดให้ y =

จะได้ =
= =
=

5) กำหนดให้ y = 3 - 2 + 6x -19 จงหา

= - + -

= - + - 0

= 3 (3 ) - 2 ( 2x ) + 6

= 9 - 4 x + 6

6) ถ้ากำหนด y = (x+3) (2x -3) จงหา

y = (x+3) (2x -3)

= f (x) g '(x) + f '(x) g(x)

= (x+3) (2) + 1 (2x - 3)

= 2x + 6 + 2x - 3 = 4x + 3

7) ถ้า y = จงหา

กำหนดให้ y = โดยที่ f (x)= + 5 และ g(x) =

ดังนั้น f ' (x) = 3 และ g '(x) =

=

=

=

=
8) ถ้า y = จงหา

กำหนดให้ y = เมื่อ f (x) = + 5
เพราะฉะนั้น f ' (x) = 2x

= 3 f ' (x)

= 3 f ' (x)

= 6 x


อนุพันธ์อันดับสูง

กำหนดให้ y = f(x) และ f ' (x) เป็นอนุพันธ์ของ f(x) ที่ x ใด ๆ ซึ่งสามารถหาอนุพันธ์ได้
จะเรียกอนุพันธ์ของอนุพันธ์ของ f(x) ที่ x ใด ๆ ว่า อนุพันธ์ของอนุพันธ์อันดับที่ 2 ของ f(x) ที่ x ใด ๆ
เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ f ' ' (x) หรือ ในทำนองเดียวกัน อนุพันธ์อันดับที่ 3 ของ f(x) ที่ x ใด ๆ ว่าเป็นอนุพันธ์ของอนุพันธ์อันดับที่ 2 ของ f(x) ที่ x ใด ๆ . . . 
สรุปได้ว่า อนุพันธ์อันดับที่ n ของ f(x) ที่ x ใด ๆเป็นอนุพันธ์ของอนุพันธ์อันดับที่ n - 1 ดังนี้

f ' (x) = แทนอนุพันธ์อันดับที่ 1 ของ f(x) ที่ x ใด ๆ

f '' (x) = แทนอนุพันธ์อันดับที่ 2 ของ f(x) ที่ x ใด ๆ

f ''' (x) = แทนอนุพันธ์อันดับที่ 2 ของ f(x) ที่ x ใด ๆ

f '''' (x) = แทนอนุพันธ์อันดับที่ 2 ของ f(x) ที่ x ใด ๆ

. . .

= แทนอนุพันธ์อันดับที่ n ของ f(x) ที่ x ใด ๆ

ตัวอย่าง จงหาอนุพันธ์ทั้งหมดของฟังก์ชัน f ซึ่ง f(x) =

f ' (x) =

f ' ' (x) =

f ' ' '(x) = 192 x + 30

= 192

= 0

= 0 เมื่อ n 5


แหล่งที่มา  http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/yala/ampornpan/calculus/2-diff_algebra.htm